Основи моделювання стану довкілля. Вибірковий метод. Статистична перевірка гіпотез

ПЛАН

1. Вибірковий метод

2. Статистична гіпотеза

3. Література

1. Вибірковий метод

Вибірковий метод – це система наукових принципів випадкового відбору певної частини сукупності, яка представляла б усю сукупність і характеристики якої слугували б надійною основою статистичного висновку.

Сукупність, з якої відбираються елементи для обстеження, називають генеральною, а сукупність, яку безпосередньо обстежують, – вибірковою. Статистичні характеристики вибіркової сукупності розглядаються як оцінки відповідних характеристик генеральної сукупності. Позаяк вибіркова сукупність не точно відтворює структуру генеральної, то вибіркової оцінки також не збігаються з характеристиками генеральної сукупності. Розбіжності між ними називають похибками репрезентативності. За причинами виникнення ці похибки поділяються на систематичні (тенденційні) та випадкові. Систематичні похибки виникають за умови, що під час формування вибіркової сукупності порушується принцип випадковості відбору (упереджений відбір елементів, недосконала основа вибірки тощо). Випадкові похибки – це наслідок випадковості відбору елементів сукупності для обстеження.

При організації вибіркового обстеження важливо запобігти виникненню систематичних похибок. Що стосується випадкових похибок, то уникнути їх неможливо, проте на основі теорії вибіркового методу можна визначити розмір і по можливості регулювати.

У практиці вибіркових спостережень використовують два типи вибіркових оцінок – точкові та інтервальні. Точкова оцінка – це значення параметра за даними вибірки: вибіркова середня або вибіркова частка р. Інтервальна оцінка – це інтервал значень параметра, розрахований за даними вибірки для певної імовірності, тобто довірчий інтервал. Межі його визначаються на основі точкової оцінки та граничної похибки вибірки ∆=tμ:

для середньої ;

для частки ,

де μ – середня, або стандартна похибка вибірки; t – квантиль розподілу імовірності (довірче число); та – середня та частка генеральної сукупності.

Стандартна похибка вибірки μ є середнім квадратичним відхиленням вибіркових оцінок від значень параметра генеральної сукупності:

при повторному відборі ,

при безповторному ,

де σ2 – вибіркова дисперсія; n та N – відповідно обсяг вибіркової та генеральної сукупностей.

При практичному використанні наведених формул слід враховувати, що:

1) дисперсія частки є добутком часток

σ2 =р(1–р)=рq;

2) у великих за обсягом сукупностях ( 30 і більше одиниць) поправка не вносить істотних змін у розрахунки, а тому враховується лише у малочисельних (малих) вибірках;

3) коригуючий множник для безповторної вибірки при малих величинах наближається до 1, а тому при 1–5%-ній вибірці розрахунок μ ведеться за формулою для повторної вибірки.

Гранична похибка вибірки ∆=tμ – це максимально можлива похибка для прийнятої імовірності F(x). Довірче число t вказує, як співвідносяться гранична та стандартна похибки. Так, t=1 для імовірності 0,683; t=2 для імовірності 0,954; t=3 для імовірності 0,997.

Отже, застосовують такі формули граничної похибки вибірки.

Повторна вибірка Безповторна вибірка

Для середньої

Для частки

Як видно з формул, розмір граничної похибки залежить від варіації ознаки σ2 , обсягу вибірки n та її частки у генеральній сукупності , прийнятого рівня імовірності, якому відповідає квантиль t.

При малих вибірках (n≤30) квантиль t визначають за розподілом імовірностей Стьюдента.

У практиці вибіркових обстежень використовують різні способи формування вибіркових сукупностей, зокрема: простий випадковий, механічний, розшарований (районований), серійний.

Простий випадковий відбір проводиться жеребкуванням або на основі таблиць випадкових чисел. Це класичний спосіб формування вибіркової сукупності і саме на ньому грунтується теорія вибіркового методу.

При механічному відборі основою вибірки є упорядкована чисельність елементів генеральної сукупності. Відбір елементів здійснюється через однакові інтервали, крок інтервалу залежить від вибірки. Так, при =0,05 крок інтервалу становить 1/0,05=20. Похибка механічної вибірки обчислюється за формулою безповторної вибірки. Для моментних спостережень суть яких зводиться до фіксації стану безперервного процесу на певні моменти часу, використовують формулу похибки повторної вибірки.

Розшарований (районований) відбір передбачає попередню структуризацію генеральної сукупності та незалежний відбір елементів у кожній складовій частині. Обсяг розшарованої вибірки – це сума частинних вибірок , тобто , де m – число складових частин (груп, типових районів тощо).

При обчисленні похибки розшарованої вибірки використовують середню з групових дисперсій

Як правило, , отже, похибка розшарованої вибірки менша, ніж механічної чи простої випадковості. Найчастіше використовують відбір пропорційних чисельності складових сукупності, тобто частка вибірки для всіх складових однакова.

При серійному відборі основа вибірки складається з серій елементів сукупності, зв’язаних територіально (райони, поселення), організаційно (фірми, акціонерні товариства) тощо. Серії відбираються за схемою механічної або простої випадкової вибірки, обстеженню підлягають всі елементи серії. При обчисленні похибки вибірки враховується міжсерійна варіація:,

де nk та – відповідно обсяг і середня k-ї серії.

Проектуючи вибіркові спостереження, визначають мінімально достатній обсяг вибірки, за якого вибіркові оцінки репрезентували б основні властивості генеральної сукупності:

для повторного відбору для безповторного

Для визначення обсягу вибірки n використовують оцінки дисперсій σ2 аналогічних пробних обстежень. Якщо такі обстеження відсутні, можна скористатися співвідношенням , а для частки взяти найбільше значення дисперсії σ2 =0,25.

2. Статистична гіпотеза

Статистична гіпотеза – це певне припущення щодо властивостей генеральної сукупності, яке можна перевірити за даними вибіркового спостереження. Гіпотеза, яку належить перевірити, формулюється як відсутність розбіжностей між параметром генеральної сукупності G і заданою величиною а (нульова гіпотеза). Зміст її записують так : Ho:G=a. Кожній нульовій гіпотезі протиставляють альтернативну Ha. Залежно від вагомості відхилень вона формулюється Ha:G>a; Ha:G<a або Ha:G=0.

Якщо вибіркові дані суперечать гіпотезі Ho, вона відхиляється, якщо погоджуються – Ho не відхиляється. Перевірка гіпотез неминуче пов’язана з ризиком прийняття помилкового рішення : ризик І роду – відхилення вірної нульової гіпотези, ризик ІІ – прийняття Ho, коли насправді вірна альтернативна.

Правило, за яким гіпотеза Ho відхиляється або не відхиляється, називають статистичним критерієм. Математичною основою будь-якого критерію є статистична характеристика Z, закон розподілу якої відомий, наприклад, характеристика t – розподілу Стьюдента.

Ймовірність ризику відхилення вірної нульової гіпотези називають рівнем істотності а, а значення статистичної характеристики для імовірності 1–а – критичним значенням Z1–а . Значення найпоширеніших статистичних критеріїв наведені у спеціальних таблицях. Якщо вибіркове значення Z>Z1–а не відхиляється.

У разі перевірки справедливості Ho:G=a проти Hа:G≠a використовують двосторонній критерій, критичне значення Z визначається для , тобто .

Приклад. Для випуску екологічно чистої продукції використовують дві технології – нову та традиційну. Для порівняння ефективності нової технології проведено їх тестування за 100-баловою системою. Вісім партій готової продукції, що виготовлені за новою технологією, отримали середній бал =84 при дисперсії =32; 10 партій, що виготовлені за традиційною технологією, за такий же тест мали середній бал =76 при дисперсії =24. Різниця між середніми двох груп становить =84-76=8 балів. Необхідно перевірити, чи випадкові ці розбіжності, чи обумовлені більшою ефективністю нової методики. Нульова гіпотеза формулюється на припущенні, що відхилення середніх випадкове, тобто . Альтернативна гіпотеза передбачає, що нова технологія ефективніша, тобто . При такому формулюванні Ha проводиться одностороння перевірка нульової гіпотези. Статистичною характеристикою перевірки H0 є нормоване відхилення середніх ,

яке підпорядковане розподілу ймовірностей Стьюдента з числом свободи k=n1+n2-2.

У нашому прикладі k=8+10-2=16; оцінка середньої з групових дисперсій σ2 становить:

Тоді значення

Критичне значення одностороннього t-критерію при а=0,05 та k=16 становить t0,95(16)=1,75, що менше фактичного (t=3,03). Отже, нульова гіпотеза відхиляється. З імовірністю 0,95 можна стверджувати, що нова технологія ефективніша.

Література:

1. Замкова О.О, Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник.–М.: МГУ им. М.В.Ломоносова, Изд-во “ДИС”, 1997.– С.245–268.

2. Єріна А.М., Пальян З.О. Теорія статистики: Практикум. – К.: Товариство “Знання”, КОО, 1997.–325 с.

3. Лук’яненко І.Г., Краснікова Л.І. Економетрика: Підручник. – К.: Товариство “Знання”, КОО, 1998.–С.36–44.

4. Сергеев Г.А., Якурш Д.А. Статистические методы исследования природных объектов.–Л.: Гидрометеоиздат, 1973.–300 с.

5. Трудова М.Г. Статистический анализ природоохранной деятельности в регионе.–М.: Изд-во МГУ, 1989.–150 с.

Использовав материалы реферата Основи моделювання стану довкілля. Вибірковий метод. Статистична перевірка гіпотез, оставте пожалуйста отзыв о реферате:

Отзывы

Оставить отзыв